Задача № 1

Консольный брус со ступенчато – переменным поперечным сечением и не подвижным защемлённым концом в точке В.

А = 200мм2 — площадь поперечного сечения,

Материал – сталь 40хН.

L = 0,2 – длинна бруса.

F1/F = 5

F2/F = 1

F3/F = -2

A1/A = 1,3

a/l = 3

b/l = 2

c/l = 2,5

Е = 2,1 * 105 Н/мм – модуль продольной упругости

Материал стали – 40хН

Приложение № 1

Задание:

1) Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине бруса.

2) Определить допускаемое значение нагрузки (F).

3) Вычислить наибольшее перемещение.

4) Вычислить изменение длины участка а.

1) Эпюра продольных сечений:

Сечение (1-1)

F3-Nz=0

-2F-Nz=0

Nz1=-2F

Сечение (2-2)

F3+F1-Nz=0

-2F+5F-Nz=0

Nz2=5F-2F

Nz2=3F

Сечение (3-3)

F3+F1+F2-Nz3=0

-2F+5F+1F-Nz3=0

4F-Nz=0

Nz=4F

2) Эпюра нормальных напряжений

G=Nz/A, A=200mm, A1=260mm

KA: G(KA)=200*103 /200*10-4=200000/0.02=10.000.000= — 10*106 Mpa

AD: G(AD)=200*103/260*10-4=200000/0.026=7.692.307pa=7.6*106 Mpa

DC: G(DC)=300*103/260*10-4=300000/0.026=11.538.461pa=11.5*106 Mpa

CB: G(CB)=400*103/200*10-4=400000/0.20=20.000.000pa=20*106 Mpa

3) Эпюра перемещений сечений бруса λ

а) Перемещение сечения через точку К;

λК = 0

б) Перемещение сечения через точку А;

λA = λK + ∆lKA

λA = λK + GKA * lKA / E = GKA * 3l / Е

λA = 0 — 10 * 106 * 0,6 / 2,1 * 105 = — 10 * 10 * 0,6 / 2,1 = — 28,57 мм

в) Перемещение сечения через точку D;

λD = λA + ∆lAD

λD = λA + GAD * lAD / E

λD = — 28,57 + 7.6 * 106 * 0,4 / 2,1 * 105 = — 28,57 + 7,6 * 0,4 / 2,1 =

— 28.57 + 7,6 * 0,19 = — 27,12 мм

г) Перемещение сечения через точку С;

λС = λD + ∆lAC

λС = λD + G DC * ∆lDC / Е

λС =- 27,12 + 11.5* 106 * 0.5 / 2,1 * 105 = — 0.67 мм

д) Перемещение сечения через точку В;

λВ = λС + ∆lCВ

λВ = λС + G CВ ∆lCВ / Е

λС = — 0,67 + 20 * 106 * 0,2 / 2,1 * 105 = — 0,67 + 200 * 0,2 / 2,1 = 17,33 мм

4) Определение Gт – предел текучести

Gт = 750 Н / мм2

[n] = [1,6 – 2,5] – принимаем 2 Н / мм2

[G] = Gт / [n]; [G] = 750 / 2 = 375 Н / мм2

5) Допускаемые значения нагрузки F.

Условие прочности: Gmax < [G]

Эпюра «G»; Gmax = 4F/A = 20 МПа

[F] < [G]*A /4; [F] < 375 * 200 / 20;

[F] < 18,75 * 103 (H)

6) Наибольшее перемещение. Эпюра «λ»

Λmax = 4Fl/AE = 4 * 18,75 * 103 * 0,2 * 103 / 200 * 2.1 * 105 = 0,375 мм

7) Изменение длинны участка а. Эпюра «G»

∆l = Ga * l / Ea

∆la = — 2F/ A * 3l/E = — 2 * 18,75 * 103 * 3 * 0,2 * 103 / 200 * 2.1 * 105 = — 0,53 мм

Ответ:

1) Построили эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине бруса – Приложение №1.

2) Определить допускаемое значение нагрузки [F] < 18,75 * 103 (H)

3) Вычислить наибольшее перемещение Λmax = 0,375 мм

4) Вычислить изменение участка а, ∆la = — 0,53 мм