Задача № 1 Консольный брус со ступенчато – переменным поперечным сечением
Задача № 1
Консольный брус со ступенчато – переменным поперечным сечением и не подвижным защемлённым концом в точке В.
А = 200мм2 — площадь поперечного сечения,
Материал – сталь 40хН.
L = 0,2 – длинна бруса.
F1/F = 5
F2/F = 1
F3/F = -2
A1/A = 1,3
a/l = 3
b/l = 2
c/l = 2,5
Е = 2,1 * 105 Н/мм – модуль продольной упругости
Материал стали – 40хН
Приложение № 1
Задание:
1) Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине бруса.
2) Определить допускаемое значение нагрузки (F).
3) Вычислить наибольшее перемещение.
4) Вычислить изменение длины участка а.
1) Эпюра продольных сечений:
Сечение (1-1)
F3-Nz=0
-2F-Nz=0
Nz1=-2F
Сечение (2-2)
F3+F1-Nz=0
-2F+5F-Nz=0
Nz2=5F-2F
Nz2=3F
Сечение (3-3)
F3+F1+F2-Nz3=0
-2F+5F+1F-Nz3=0
4F-Nz=0
Nz=4F
2) Эпюра нормальных напряжений
G=Nz/A, A=200mm, A1=260mm
KA: G(KA)=200*103 /200*10-4=200000/0.02=10.000.000= — 10*106 Mpa
AD: G(AD)=200*103/260*10-4=200000/0.026=7.692.307pa=7.6*106 Mpa
DC: G(DC)=300*103/260*10-4=300000/0.026=11.538.461pa=11.5*106 Mpa
CB: G(CB)=400*103/200*10-4=400000/0.20=20.000.000pa=20*106 Mpa
3) Эпюра перемещений сечений бруса λ
а) Перемещение сечения через точку К;
λК = 0
б) Перемещение сечения через точку А;
λA = λK + ∆lKA
λA = λK + GKA * lKA / E = GKA * 3l / Е
λA = 0 — 10 * 106 * 0,6 / 2,1 * 105 = — 10 * 10 * 0,6 / 2,1 = — 28,57 мм
в) Перемещение сечения через точку D;
λD = λA + ∆lAD
λD = λA + GAD * lAD / E
λD = — 28,57 + 7.6 * 106 * 0,4 / 2,1 * 105 = — 28,57 + 7,6 * 0,4 / 2,1 =
— 28.57 + 7,6 * 0,19 = — 27,12 мм
г) Перемещение сечения через точку С;
λС = λD + ∆lAC
λС = λD + G DC * ∆lDC / Е
λС =- 27,12 + 11.5* 106 * 0.5 / 2,1 * 105 = — 0.67 мм
д) Перемещение сечения через точку В;
λВ = λС + ∆lCВ
λВ = λС + G CВ ∆lCВ / Е
λС = — 0,67 + 20 * 106 * 0,2 / 2,1 * 105 = — 0,67 + 200 * 0,2 / 2,1 = 17,33 мм
4) Определение Gт – предел текучести
Gт = 750 Н / мм2
[n] = [1,6 – 2,5] – принимаем 2 Н / мм2
[G] = Gт / [n]; [G] = 750 / 2 = 375 Н / мм2
5) Допускаемые значения нагрузки F.
Условие прочности: Gmax < [G]
Эпюра «G»; Gmax = 4F/A = 20 МПа
[F] < [G]*A /4; [F] < 375 * 200 / 20;
[F] < 18,75 * 103 (H)
6) Наибольшее перемещение. Эпюра «λ»
Λmax = 4Fl/AE = 4 * 18,75 * 103 * 0,2 * 103 / 200 * 2.1 * 105 = 0,375 мм
7) Изменение длинны участка а. Эпюра «G»
∆l = Ga * l / Ea
∆la = — 2F/ A * 3l/E = — 2 * 18,75 * 103 * 3 * 0,2 * 103 / 200 * 2.1 * 105 = — 0,53 мм
Ответ:
1) Построили эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине бруса – Приложение №1.
2) Определить допускаемое значение нагрузки [F] < 18,75 * 103 (H)
3) Вычислить наибольшее перемещение Λmax = 0,375 мм
4) Вычислить изменение участка а, ∆la = — 0,53 мм